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测度

概述

• 所谓测度，通俗的讲就是测量几何区域的尺度。 我们知道直线上的闭区间的测度就是通常的线段长度； 平面上一个闭圆盘的测度就是它的面积。
• 一般的集合，我们能不能定义测度呢？ 比如直线上所有有理数构成的集合，它的测度怎么衡量呢？
  一个简单的办法， 就是先在每个有理点上找一个开区间覆盖它，就好比给它带个“帽子”。因为有理数集是可列集（就是可以像排自然一样排好队，一个个数出来，也叫可数集，见集合论）
  所以我们可以让第n个有理数上盖的开区间长度是第一个有理数（比方是1）上盖的开区间长度的$2^n$分之一。 这样所有那些开区间的长度之和是个有限值（就是1上的开区间长度的2倍）。
  我们让1上的开区间逐渐缩小趋向于一个点，那么所有区间的总长度也相应缩小，趋向于长度0。 这样我们就说有理数集的测度是0。 用上面这种方法定义的测度也叫外测度。

集类

• 是一个集合，但集合的元素也是集合。
• 设有非空集合G，G的子集构成了集类的元素。
• 指标集是用来给集类中的元素标注。
  比如$G_i:I\in I$
  $I$为指标集
  ⋂ i ∈ I G i = { g : g ∈ G i , ∀ i ∈ I } ⋃ i ∈ I G i = { g : g ∈ G i , ∀ i ∈ I } \bigcap\limits_{i \in I} G_i=\{g:g \in G_i,\forall i \in I\} \\\bigcup\limits_{i \in I} G_i=\{g:g \in G_i,\forall i \in I\} i∈I⋂​Gi​={g:g∈Gi​,∀i∈I}i∈I⋃​Gi​={g:g∈Gi​,∀i∈I}
• 极限
  给定一个集合序列$A_n$，它的上极限可以定义为在无穷多个$A_n$中都存在的元素的集合，而下极限则是只有有限个$A_n$不包含它的元素的集合。
  $$\begin{gathered} 集合列A_K \\ 上极限集：\overline{\underset{k\to \infty }{\lim }}{A}_k=\bigcap _{j=1}^{\infty }\bigcup _{k=j}^{\infty }{A}_k \\ 下极限集:\underset{\overline{k\to \infty }}{\lim }=\bigcup _{j=1}^{\infty }\bigcap _{k=j}^{\infty }{A}_k \end{gathered}$$
  设 { A n , n ≥ 1 } 是单调集列，则 { A n , n ≥ 1 收敛 } A n ↑ = > lim ⁡ n → ∞ A n = ∪ n = 1 ∞ A n A n ↓ = > lim ⁡ n → ∞ A n = ∩ n = 1 ∞ A n 设\{A_n,n \ge 1\}是单调集列，则\{A_n,n \ge 1收敛\} \\A_n\uparrow=>\lim_{n \rightarrow \infty}A_n=\cup_{n=1}^{\infty}A_n \\A_n\downarrow=>\lim_{n \rightarrow \infty}A_n=\cap_{n=1}^{\infty}A_n 设{An​,n≥1}是单调集列，则{An​,n≥1收敛}An​↑=>n→∞lim​An​=∪n=1∞​An​An​↓=>n→∞lim​An​=∩n=1∞​An​
• 值空间
  A ⊂ X , A 在 f 下的像为 f ( A ) ，即： f ( A ) = { f ( x ) : x ∈ A } f ( A ) ⊂ Y Y 为值空间 A \subset X,A在f下的像为f(A)，即： \\f(A)=\{f(x):x \in A\} \\f(A) \subset Y \\Y为值空间 A⊂X,A在f下的像为f(A)，即：f(A)={f(x):x∈A}f(A)⊂YY为值空间

笛卡尔积

下面是文心一言的生成内容
笛卡尔积（Cartesian product）是数学中的一个概念，尤其在集合论、关系代数和计算机科学中非常重要。它指的是两个或多个集合中所有可能的有序元素对的集合。如果集合A有m个元素，集合B有n个元素，那么A和B的笛卡尔积将包含m * n个元素，即A中每一个元素都与B中每一个元素配对一次。

定义

设A和B是两个集合，A和B的笛卡尔积记作A × B，是一个集合，其元素是形如(a, b)的有序对，其中a属于A，b属于B。

例子

假设有两个集合：

• A = {1, 2}
• B = {x, y}

那么A和B的笛卡尔积A × B将是：

A × B = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)}

这个集合包含了A中每个元素与B中每个元素的所有可能组合。

多集合的笛卡尔积

多集合的笛卡尔积（Cartesian product）是数学中的一个重要概念，它描述了多个集合之间所有可能的组合方式。笛卡尔积的结果是一个新的集合，其中的每个元素都是原集合中元素的组合。以下是关于多集合笛卡尔积的详细解释：

定义

对于给定的n个集合A1, A2, …, An，它们的笛卡尔积是一个新的集合，记作A1×A2×…×An，其中每个元素都是一个n元组(a1, a2, …, an)，其中ai属于Ai（i=1, 2, …, n）。这个n元组表示从每个集合Ai中选取一个元素ai所形成的组合。

计算方法

1. 两个集合的笛卡尔积：

   • 假设有两个集合A和B，A有m个元素，B有n个元素。那么A和B的笛卡尔积A×B将有m×n个元素，每个元素都是一个有序对(a, b)，其中a属于A，b属于B。
   • 例如，A={1, 2}，B={3, 4}，则A×B={(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}。

2. 多个集合的笛卡尔积：

   • 可以通过迭代计算两个集合的笛卡尔积来得到多个集合的笛卡尔积。
   • 首先计算前两个集合的笛卡尔积，然后将结果与下一个集合进行笛卡尔积计算，依此类推，直到与最后一个集合计算完成。
   • 例如，对于集合A={a, b}，B={0, 1}，C={x, y}，则首先计算A×B={(a, 0), (a, 1), (b, 0), (b, 1)}，然后将结果与C进行笛卡尔积计算，得到A×B×C={(a, 0, x), (a, 0, y), (a, 1, x), (a, 1, y), (b, 0, x), (b, 0, y), (b, 1, x), (b, 1, y)}。

注意事项

• 笛卡尔积的大小随着集合数量的增加而呈指数级增长，因此在实际应用中需要注意性能和内存使用。
• 当处理大量数据时，可能需要考虑使用更高效的算法或优化策略来减少计算时间和内存消耗。

有限笛卡尔积的性质

有限笛卡尔积，即两个或多个有限集合之间的笛卡尔积，具有一系列重要的性质。以下是这些性质的详细归纳：

1. 定义

设A, B为集合，A和B的笛卡尔积是一个集合，其中每个元素都是一个有序对(x, y)，其中x来自A，y来自B。记作A×B = {(x, y) | x∈A ∧ y∈B}。

2. 性质

2.1 基数性质

• 如果|A|=m（A的元素个数为m），|B|=n（B的元素个数为n），则|A×B|=mn。即笛卡尔积的元素个数是两个集合元素个数的乘积。

2.2 空集性质

• 当A或B为空集时，A×B也为空集，即A×B=∅。

2.3 不满足交换律

• 笛卡尔积运算不满足交换律，即当A≠B且A, B均非空时，A×B≠B×A。例如，设A={a,b}，B={0,1}，则A×B和B×A的元素顺序不同。

2.4 不满足结合律

• 笛卡尔积运算不满足结合律，即当A, B, C均非空时，(A×B)×C≠A×(B×C)。因为(A×B)×C的元素是形如((a,b),c)的有序对，而A×(B×C)的元素是形如(a,(b,c))的有序对，它们的结构不同。

2.5 对并和交运算满足分配律

• 笛卡尔积对并和交运算满足分配律，即：
  • A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)
  • (B∪C)×A=(B×A)∪(C×A)
  • A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)
  • (B∩C)×A=(B×A)∩(C×A)

这些性质表明，笛卡尔积在集合运算中具有很好的分配性。

3. 示例

设A={a,b}，B={0,1}，则：

• A×B={<a,0>,<a,1>,<b,0>,<b,1>}
• B×A={<0,a>,<0,b>,<1,a>,<1,b>}

这个示例直观地展示了笛卡尔积的构成以及不满足交换律的性质。

4. 结论

有限笛卡尔积是集合论中的一个重要概念，它具有独特的性质和广泛的应用。了解这些性质有助于更好地理解和运用笛卡尔积进行集合运算和逻辑推理。

以上信息基于多个权威来源的整合和分析，确保了信息的准确性和可靠性。

参考链接

1.测度论,百度百科
2.集合的极限
3. 《测度论与高等概率论》