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符号优先级

概率公式中一共有三种符号：分号 ; 、逗号 , 、竖线 | 。
; 分号代表前后是两类东西，以概率P(x;θ)为例，分号前面是x样本，分号后边是模型参数。分号前的 表示的是这个式子用来预测分布的随机变量x，分号后的 表示所需的相关参数θ。
, 逗号代表两个事件同时发生的概率，逗号连接两个事件，有时可以省略，如联合概率P(AB)，等价于P(A,B)
| 竖线代表 if，以条件概率P(A|B)为例，A，B是随机试验E的两个随机试验，P(A|B)就是如果B事件发生的条件下，发生A事件的概率，结合图进行理解：

优先级： , > | > ;
例子1： P(A|B,C)表示在B，C的条件下，发生A的概率。
例子2：P(y∣x ; α,ω​)表示：x发生条件下y的条件概率，该条件概率模型用参数α,ω建模（或者说用参数a,ω表示）。

注意：
$p(x|\theta )$不总是代表条件概率，也就是说 $p(x|\theta )$ 不代表条件概率时与 $p(x;\theta )$ 等价。而一般地，写竖杠表示条件概率，是随机变量。
$p(x;\theta )$ 中，分号后的 表示待估参数（是固定的，只是当前未知），应该可以直接认为是 $p(x)$，加了，是为了强调说明这里有个 $\theta$ 的参数，$p(x;\theta )$ 意思是随机变量 $X=x$ 的概率。在 贝叶斯理论下又叫 $X=x$ 的先验概率。

和 扩散模型推导公式的联系

根据以上讨论的这些，现在讨论一个比较复杂的情况。比如，$\mathcal{N}(x;0,I)$的意思是什么？
我们知道，$\mathcal{N}(0,I)$表示标准高斯分布，均值为0，方差为1，其本质上也是一个概率密度函数$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}$（标准高斯分布情况下为 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$ ）。从这里可以发现，一般的函数我们都是强调自变量本身（比如$x$），而在概率论里面有时候强调的是函数参数本身（比如高斯分布的均值和方差），而淡化了输入变量$x$。因此$\mathcal{N}(x;0,I)$相比与$\mathcal{N}(0,I)$的区别就在于显式强调了函数的输入为$x$。
这下，就好理解扩散模型中的噪声公式了：

那么， $q(x_t|x_{t-1})=\mathcal{N}(x_t;\sqrt{1-{\beta }_t}{x}_{t-1},{\beta }_{t}I)$，这个公式何意义？
这个东西分多步看。首先，函数本身是个条件概率分布，$q(x_t|x_{t-1})$ 表示 $x_{t-1}$ 已知的情况下，$x_t$ 的分布 （$x_t$取各种值的概率）。而后面的这个高斯分布则强调了其输入自变量为$x_t$（因为是$x_t$的概率密度函数，所以自变量当然是$x_t$)，而高斯分布的均值和方差则分别为
$\sqrt{1-{\beta }_t}{x}_{t-1}和{\beta }_{t}I$，与条件分布的条件 $x_{t-1}$ 有关。

全概率（概率函数连乘）

图示可表示为：

参考：
https://blog.csdn.net/shyjhyp11/article/details/133969095